Dokumen Naskah Asli Terverifikasi: Naskah resmi Ujian Tengah Semester Gasal 2025/2026 (Dosen Penguji: Ir. Aris Rakhmadi, S.T., M.Eng. untuk Tipe A & Ihsan Cahyo Utomo, M.Kom. untuk Tipe B). Sifat ujian: Closed Book, diperbolehkan kalkulator konvensional (maksimal 3 kali iterasi pendekatan).

Unduh PDF Naskah Asli Lengkap (Tipe A & B)

SOAL 1 • CPMK 1, 2

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Pada kasus pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar, diberikan fungsi f(x) = x(√(x + 1) - √x).
a) Hitunglah nilai dari f(500) secara langsung tetapi hasil setiap perhitungan antara dan hasil akhir dibulatkan sampai enam angka bena dan pembulatan ke digit terdekat.
b) Kemudian hitunglah dengan cara yang lebih baik yaitu menghindari pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar yang akan menghilangkan sejumlah angka bena!
c) Bandingkan galat dari dua hasil perhitungan a dan b, dengan nilai eksaknya adalah f(500) = 11.174755300747198.

Langkah Pembahasan & Perhitungan

1

Bagian (a) — Perhitungan Langsung (Direct Computation 6 Angka Bena):

Substitusikan x = 500 ke dalam fungsi f(500) = 500 × (√501 - √500) dengan membatasi setiap hasil akar tepat pada 6 angka bena:

√501 ≈ 22.3830 (6 angka bena)
√500 ≈ 22.3607 (6 angka bena)
Selisih = 22.3830 - 22.3607 = 0.0223000

↑ Perhatikan: Pengurangan dua bilangan yang hampir sama besar menyebabkan digit awal 22.3... saling menghilangkan. Hasilnya hanya menyisakan 3 angka bena efektif (yaitu angka 223)!

f(500) = 500 × 0.0223000 = 11.1500

2

Bagian (b) — Cara Lebih Baik (Merasionalkan Bentuk Sekawan):

Untuk menghindari catastrophic cancellation, kalikan pembilang dan penyebut dengan faktor sekawannya (√(x + 1) + √x):

f(x) = x × [(√(x + 1) - √x) × (√(x + 1) + √x)] / (√(x + 1) + √x)
f(x) = x × [(x + 1) - x] / (√(x + 1) + √x)
f(x) = x / (√(x + 1) + √x)

Substitusikan x = 500 ke rumus baru (operasi di penyebut berubah menjadi penjumlahan sehingga tidak ada angka bena yang hilang):

Penyebut = 22.3830 + 22.3607 = 44.7437 (tetap 6 angka bena!)
f(500) = 500 / 44.7437 ≈ 11.1748

3

Bagian (c) — Tabel Komparasi Galat terhadap Nilai Eksak:

Nilai eksak: x = 11.174755300747198. Rumus galat mutlak: |e| = |x - x̂|.

Metode Perhitungan	Hasil Hampiran (x̂)	Galat Mutlak (\|e\|)	Presisi Angka Bena
(a) Langsung (Pengurangan Akar)	`11.1500`	0.024755	Turun drastis menjadi 3 angka bena
(b) Bentuk Sekawan (Rasional)	`11.1748`	0.000045	Terjaga penuh 6 angka bena

Kesimpulan Ujian: Merasionalkan bentuk aljabar dengan perkalian sekawan terbukti mereduksi galat dari 0.024755 menjadi 0.000045 (lebih akurat 550 kali lipat) karena meniadakan pengurangan dua bilangan berdekatan.

SOAL 2 • CPMK 1, 2

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Selesaikan perhitungan integral berikut ∫₀³ (9 - x²) dx dengan metode analitik!
Kemudian selesaikan dengan metode numerik pendekatan luasan di bawah kurva dengan metode trapesium pembagian daerah per setengah satuan sumbu x (h = 0.5)!
Carilah galat mutlak yang dihasilkan dari metode numerik yang telah dihitung!

Langkah Pembahasan & Perhitungan

1

Metode Analitik (Nilai Eksak):

∫₀³ (9 - x²) dx = [9x - (1/3)x³]₀³
= [9(3) - (1/3)(3)³] - [0]
= [27 - 9] = 18 (Eksak)

2

Metode Numerik Aturan Trapesium Komposit (h = 0.5):

Batas interval [0, 3] dibagi per h = 0.5 menghasilkan n = (3 - 0)/0.5 = 6 pias:

Rumus: I ≈ (h / 2) × [f(x₀) + 2∑_i=1⁵ f(x_i) + f(x₆)]

Titik (i)	x_i	f(x_i) = 9 - x_i²	Bobot Koefisien	Hasil Kali (f × Bobot)
0	0.0	9 - 0.00 = 9.00	1	9.00
1	0.5	9 - 0.25 = 8.75	2	17.50
2	1.0	9 - 1.00 = 8.00	2	16.00
3	1.5	9 - 2.25 = 6.75	2	13.50
4	2.0	9 - 4.00 = 5.00	2	10.00
5	2.5	9 - 6.25 = 2.75	2	5.50
6	3.0	9 - 9.00 = 0.00	1	0.00
Total Jumlah (Σ):				71.50

I ≈ (0.5 / 2) × 71.50 = 0.25 × 71.50 = 17.875

3

Perhitungan Galat Mutlak:

|e| = |Nilai Eksak - Nilai Hampiran|
|e| = |18 - 17.875| = 0.125

Hasil Akhir: Nilai analitik = 18, nilai numerik metode trapesium = 17.875, dan galat mutlak = 0.125 (galat relatif = 0.694%).

SOAL 3 • CPMK 3

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Perhatikan grafik garis singgung (tangent line) berikut! Jelaskan dengan grafik tersebut, bagaimana menurunkan rumus metode Newton-Raphson untuk mendekati solusi persamaan nirlanjar yang hendak dicari?

Diagram Geometris Penurunan Rumus Newton-Raphson

Langkah Penurunan Rumus Secara Matematis

1

Konsep Geometris Garis Singgung:

Misalkan x_n adalah tebakan awal akar. Pada titik koordinat (x_n, f(x_n)), kita tarik garis lurus singgung kurva yang memotong sumbu X di titik taksiran baru x_n+1.

Kemiringan (gradien / slope) garis singgung kurva didefinisikan secara kalkulus sebagai turunan pertama fungsi di titik tersebut:

m = f'(x_n) = tan θ

2

Tinjau Segitiga Siku-Siku Terhadap Sumbu X:

Dari segitiga siku-siku antara titik (x_n, f(x_n)), (x_n, 0), dan titik potong sumbu X (x_n+1, 0):

Sisi Depan (Tinggi) = f(x_n) - 0 = f(x_n)
Sisi Samping (Alas) = x_n - x_n+1
tan θ = Sisi Depan / Sisi Samping = f(x_n) / (x_n - x_n+1)

3

Manipulasi Aljabar Menemukan x_n+1:

Samakan persamaan gradien kalkulus dengan nilai trigonometri:

f'(x_n) = f(x_n) / (x_n - x_n+1)
x_n - x_n+1 = f(x_n) / f'(x_n)
x_n+1 = x_n - [f(x_n) / f'(x_n)]

Syarat Keberlakuan: Rumus Newton-Raphson hanya valid jika f'(x_n) ≠ 0 (garis singgung tidak mendatar). Konvergensi bernilai kuadratik jika tebakan awal cukup dekat dengan akar sejati.

SOAL 4 • CPMK 3

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Leonardo da Pisa mencari akar persamaan f(x) = x³ + 2x² + 10x - 20 = 0 dan menemukan bahwa x = 1.368808107.
Carilah akar persamaan tersebut dengan menggunakan pendekatan metode Secant dengan tebakan awal x₀ = 1 dan x₁ = 1.5. Lakukan sebanyak tiga kali iterasi / pendekatan!

Langkah Pembahasan & 3 Kali Iterasi

0

Evaluasi Nilai Fungsi Awal:

Rumus Secant: x_n+1 = x_n - f(x_n) × (x_n - x_n-1) / [f(x_n) - f(x_n-1)]

f(x₀) = f(1.0) = 1³ + 2(1)² + 10(1) - 20 = 1 + 2 + 10 - 20 = -7.0
f(x₁) = f(1.5) = (1.5)³ + 2(1.5)² + 10(1.5) - 20 = 3.375 + 4.5 + 15 - 20 = +2.875

1

Iterasi 1 (Mencari x₂):

x₂ = 1.5 - (2.875 × (1.5 - 1.0)) / [2.875 - (-7.0)]
x₂ = 1.5 - (1.4375 / 9.875) = 1.5 - 0.145570 = 1.354430
f(x₂) = (1.354430)³ + 2(1.354430)² + 10(1.354430) - 20 = -0.302055

2

Iterasi 2 (Mencari x₃):

x₃ = 1.354430 - [(-0.302055) × (1.354430 - 1.5)] / [-0.302055 - 2.875]
x₃ = 1.354430 - [0.043969 / (-3.177055)] = 1.354430 + 0.013840 = 1.368270
f(x₃) = (1.368270)³ + 2(1.368270)² + 10(1.368270) - 20 = -0.011345

3

Iterasi 3 (Mencari x₄):

x₄ = 1.368270 - [(-0.011345) × (1.368270 - 1.354430)] / [-0.011345 - (-0.302055)]
x₄ = 1.368270 - [(-0.000157) / 0.290710] = 1.368270 + 0.000540 = 1.368810
f(x₄) = (1.368810)³ + 2(1.368810)² + 10(1.368810) - 20 = +0.000047

Iterasi (k)	x_k-1	x_k	x_k+1 (Akar Baru)	f(x_k+1)	Galat thd Eksak (\|x_k+1 - 1.368808\|)
1	1.000000	1.500000	1.354430	-0.302055	0.014378
2	1.500000	1.354430	1.368270	-0.011345	0.000538
3	1.354430	1.368270	1.368810	+0.000047	0.000002

Hasil 3 Kali Iterasi: Diperoleh hampiran akar x ≈ 1.368810 dengan nilai fungsi mendekati nol (f(x) ≈ 0.000047). Nilai ini sangat presisi hingga 5 digit desimal terhadap akar Leonardo da Pisa (1.368808).

SOAL 1 TIPE B • CPMK 1, 2

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Hitunglah galat (e), galat mutlak (|e|), galat relatif (ε_R), dan galat relatif hampiran (ε_RA) dari soal di bawah ini!
a) Nilai sejati panjang benda adalah 8.25 meter, sedangkan hasil pengukuran alat adalah 8.20 meter.
b) Nilai sejati 3.31793 dan nilai hampiran 1.70718.

Langkah Pembahasan & Perhitungan

a

Kasus (a) — Panjang Benda (x = 8.25 m, x̂ = 8.20 m):

• Galat (e) = x - x̂ = 8.25 - 8.20 = +0.05 meter
• Galat Mutlak (|e|) = |0.05| = 0.05 meter
• Galat Relatif (ε_R) = e / x = 0.05 / 8.25 ≈ 0.0060606 (0.606%)
• Galat Relatif Hampiran (ε_RA) = |e| / x̂ = 0.05 / 8.20 ≈ 0.0060975 (0.610%)

b

Kasus (b) — Bilangan Desimal (x = 3.31793, x̂ = 1.70718):

• Galat (e) = 3.31793 - 1.70718 = +1.61075
• Galat Mutlak (|e|) = 1.61075
• Galat Relatif (ε_R) = 1.61075 / 3.31793 ≈ 0.485468 (48.55%)
• Galat Relatif Hampiran (ε_RA) = 1.61075 / 1.70718 ≈ 0.943515 (94.35%)

Rumus Ringkas: Galat mengukur selisih linear (x - x̂), sedangkan Galat Relatif menstandardisasi selisih terhadap skala nilai aslinya sehingga perbandingan akurasi antar satuan menjadi adil.

SOAL 2 TIPE B • CPMK 3

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Tentukan Deret Taylor dari soal di bawah ini:
a) Tentukan Deret Taylor untuk f(x) = 2x³ - 5x² - 4 di sekitar x = 3.
b) Tentukan pemuaian Deret Taylor untuk fungsi f(x) = cos(x) yang berpusat di x = 1.
c) Diketahui f(x) = x³ - 2x + 4, cari Deret Taylor di sekitar x = 3.

Langkah Pembahasan & Perhitungan

a

Bagian (a) — Deret Taylor f(x) = 2x³ - 5x² - 4 di x = 3:

Hitung nilai fungsi dan turunan bertingkat di x = 3:

• f(3) = 2(27) - 5(9) - 4 = 54 - 45 - 4 = 5
• f'(x) = 6x² - 10x → f'(3) = 6(9) - 10(3) = 54 - 30 = 24
• f''(x) = 12x - 10 → f''(3) = 12(3) - 10 = 36 - 10 = 26
• f′′′(x) = 12 → f′′′(3) = 12
• f⁽⁴⁾(x) = 0 (turunan ke-4 dan seterusnya = 0)

Bentuk umum deret: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + [f''(a)/2!](x-a)^2 + [f′′′(a)/3!](x-a)^3:

f(x) = 5 + 24(x - 3) + 13(x - 3)² + 2(x - 3)³

b

Bagian (b) — Deret Taylor f(x) = cos(x) berpusat di x = 1:

• f(1) = cos(1)
• f'(1) = -sin(1)
• f''(1) = -cos(1)
• f′′′(1) = +sin(1)

cos(x) = cos(1) - sin(1)(x - 1) - [cos(1)/2!](x - 1)² + [sin(1)/3!](x - 1)³ + ...

c

Bagian (c) — Deret Taylor f(x) = x³ - 2x + 4 di x = 3:

• f(3) = 27 - 6 + 4 = 25
• f'(x) = 3x² - 2 → f'(3) = 27 - 2 = 25
• f''(x) = 6x → f''(3) = 6(3) = 18 → f''(3)/2! = 9
• f′′′(x) = 6 → f′′′(3) = 6 → f′′′(3)/3! = 1

f(x) = 25 + 25(x - 3) + 9(x - 3)² + (x - 3)³

Sifat Khusus Polinomial: Deret Taylor untuk fungsi polinomial derajat n selalu berhenti (tepat eksak) pada suku ke-n karena seluruh turunan ke-(n+1) bernilai nol.

SOAL 3 TIPE B • CPMK 4

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Bila program digunakan untuk mencari selang kecil yang mengandung akar pada fungsi f(x) = e^x - 5x mulai dari a = -0.5 sampai b = 1.4 dengan kenaikan absis sebesar Δx = 0.1, tentukan di selang mana akar tersebut berada!

Langkah Pembahasan & Tabel Pencarian Selang

1

Prinsip Teorema Bolzano (Pergantian Tanda):

Akar berada di antara x_k dan x_k+1 apabila nilai fungsi berganti tanda, yaitu f(x_k) × f(x_k+1) < 0.

x	e^x	5x	f(x) = e^x - 5x	Tanda
-0.5	0.6065	-2.5	+3.1065	Positif (+)
-0.4	0.6703	-2.0	+2.6703	Positif (+)
-0.3	0.7408	-1.5	+2.2408	Positif (+)
-0.2	0.8187	-1.0	+1.8187	Positif (+)
-0.1	0.9048	-0.5	+1.4048	Positif (+)
0.0	1.0000	0.0	+1.0000	Positif (+)
0.1	1.1052	0.5	+0.6052	Positif (+)
0.2	1.2214	1.0	+0.2214	Positif (+)
0.3	1.3499	1.5	-0.1501	Negatif (−)
0.4	1.4918	2.0	-0.5082	Negatif (−)
...	...	...	...	...
1.4	4.0552	7.0	-2.9448	Negatif (−)

Kesimpulan Jawaban: Terdapat pergantian tanda dari +0.2214 ke -0.1501 pada absis x = 0.2 dan x = 0.3. Maka selang kecil yang mengandung akar adalah [0.2, 0.3].

SOAL 4 TIPE B • CPMK 4

Bobot Nilai: 25 Poin

Pertanyaan Naskah Asli:
Diberikan persamaan f(x) = x² - 6x + 5 = 0 dengan selang awal [2, 6] dan batas toleransi galat adalah 0.3.
Hitunglah hampiran akar dengan menggunakan metode Bagi Dua (Bisection)!

Langkah Pembahasan & Tabel Iterasi Bagi Dua

1

Cek Nilai Batas Awal:

f(a) = f(2) = 2² - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3.0 (< 0)
f(b) = f(6) = 6² - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = +5.0 (> 0)
f(a) × f(b) = -15.0 < 0 → Syarat terpenuhi, akar terkurung!

2

Tabel Iterasi Bagi Dua Hingga Lebar Selang |b - a| < 0.3:

Iter	a	b	c = (a+b)/2	f(a)	f(c)	Tanda f(a)×f(c)	Lebar \|b - a\|
1	2.000	6.000	4.000	-3.000	-3.000	Positif (+), a = c	4.000
2	4.000	6.000	5.000	-3.000	0.000 (Akar!)	Nol (Akar eksak)	2.000
3	5.000	6.000	5.500	0.000	+2.250	Positif (+), a = c	1.000
4	5.500	6.000	5.750	+2.250	+3.562	Positif (+), a = c	0.500 → 0.250 < 0.3

Hasil Akhir: Pada iterasi ke-2 sebenarnya akar eksak x = 5.0 sudah langsung ditemukan karena f(5) = 5^2 - 30 + 5 = 0. Dengan toleransi selang ≤ 0.3, proses berhenti pada iterasi ke-4 dengan nilai hampiran x ≈ 5.750 (atau nilai eksak x = 5.0).